martes, 28 de febrero de 2012

CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS




INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE SAN MARTIN TEXMELUCAN

MATERIA: CALCULO INTEGRAL

PROF: HECTOR GABRIEL MENDEZ LARA

INTEGRANTES:

Maria De Lourdes Lopez Ramos
Claudia Caballero Meza
Alejandro Rodriguez Estevez
Ilse Veronica Roque Perez

2°"B"ISC
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII .
Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el cálculo de áreas y volúmenes.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].
Así:
La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

PROPIEDADES
Primera propiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función
F(x) + C es otra primitiva de f(x).
Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

Ejercicio: primitivas de una función
Encontrar tres primitivas de la función cos x.
Resolución:
ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,
Integrales indefinidas
 Segunda propiedad
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar
a C.
Tercera propiedad
Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.
Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).
Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza
Integrales indefinidas

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Integrales indefinidas

donde C representa una constante llamada constante de integración.

Ejercicio: cálculo de primitivas
Integrales indefinidas

Resolución:
ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

Por consiguiente,
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas



















Integración por cambio de variable (o sustitución)

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena
Integrales indefinidas

Por tanto,
Integrales indefinidas

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

EJEMPLOS:
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable
Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se Integrales indefinidas

por la constante (en este caso 2) que falta.
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 3:
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas
Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable
Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

ð Se multiplica y se divide por 6:
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Resolución:
Integrales indefinidas

Por tanto,
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas

Integrales indefinidas














El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si \scriptstyle u es la variable original y \scriptstyle v =\phi(u) es una función invertible, se tiene:
\int_a^b f(u)\ du = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (f\circ\phi^{-1})(v)
\left(\frac{d\phi^{-1}(v)}{dv}\right)^{-1} dv

Ejemplo 1

integral
cambio de variable
cambia variable
integral
integral
cambie variable
solución


Ejemplos 2

integral
cambie variable
camero variable
integral
integral
cambie variable
operaciones
cambie variable
operaciones
operaciones
solución
integral
cambie variable
operaciones
solución
integral
cambio de variable
operaciones
solución
integral
cambio de variable
cambio de variable
integral
sangre variable
integral
integral
cambie variable
integral
integral
cambio de haber cambio de variable
solución
solución
integra
cambio variable
cambio de variables
sustitución
operaciones
operaciones
operaciones



cambie variable
solución

EJEMPLO 3

integral
cambie variable
cambie variable
integral
división
integral
solución






Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:
\begin{matrix} \cos^{2n+1} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n+1} =
\cfrac{1}{2^{2n}}
\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \cos{(2k+1)x} \\
\cos^{2n} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n} =
\cfrac{1}{2^{2n-1}} \left[1 + 
\sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} \cos{(2k)x} \right] \end{matrix}
Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:
\begin{matrix}
\begin{cases} \cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x) \\
\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \\ \dots \end{cases}
\begin{cases} \cos^3 x = \frac{3}{4}\cos(x) + \frac{1}{4}\cos(3x) \\
\cos^5 x = \frac{5}{8}\cos x + \frac{5}{16}\cos(3x) + \frac{1}{16}\cos(5x) \\ \dots  \end{cases}
\end{matrix}

Integral que contiene potencias de senos y cosenos \int \sin^{n}x\cos^{m}xdx

  • En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
  • La identidad sin 2x + cos 2x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando \scriptstyle n=2k+1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sin 2x = 1 − cos 2x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

\int \sin^{2k+1}x \cos^{m}x dx
\int \sin^{2k}x \cos^{m}x \sin x dx
\int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{m}x \sin x dx
\int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{m}x\sin x dx
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u = cos(x), du = − sin(x)dx. Como en la expresión no tenemos un − sin(x)dx multiplicamos ambos lados por ( − 1) y nos queda la expresión du = sin(x)dx que ya podemos sustituir:
-\int (1 - u^{2})^{k}u^{m} du

Cuando m es impar

Cuando m = 2k + 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos 2x = 1 − sin 2x para poder expresar los factores restantes en términos del sin x:

\int \sin^{n}x \cos^{2k+1}x dx
\int \sin^{n}x \cos^{2k}x \;\cos x dx
\int \sin^{n}x \;(\cos^{2}x)^{k}\;\cos x dx
\int \sin^{n}x\;(1 - \sin^{2}x)^{k}\;\cos x dx
al hacer u = sin x y du = cos xdx tendríamos
\int u^{n}\;(1 - u^{2})^{k} du

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2k y m = 2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:
\sin^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x
\cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x
algunas veces es útil usar la identidad:

\sin x\;\cos x =\frac{1}{2}\sin 2x
\int \cos^{2p}x\;\sin^{2k}x dx
\int (\cos^{2}x)^{p}\;(\sin^{2}x)^{k} dx
sería igual a:
\int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x]^{p}\;
[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x]^{k} dx

Ejemplo #1

  • \int \sin^5x \; \cos^2x dx.
Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,
\sin^5x \; \cos^2 x=(\sin^2x)^2 \; \cos^2x \; \sin x= (1-\cos^2x)^2 \; \cos^2x\;\sin x
Sustituyendo u = cos x , tenemos du = − sin xdx luego:
\begin{matrix} \int \sin^5 x \cos^2x dx= \int \sin^4 x \cos^2 x \sin x\ dx = \\
\int (1-\cos^2 x )^2 \cos^2x \sin x\ dx = \\ 
\int (1-u^2)^2\;u^2\;(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du  = \\
-(\frac{u^3}{3}) - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7}+C = \\
-\frac{1}{3}\cos^3x + \frac{2}{5}\cos^5x - \frac{1}{7}\cos^7x + C \end{matrix}

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes

\int \sec^{n}x\tan^{m}xdx

  • Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
\left( \frac{d}{dx} \right)\tan x = \sec^2x, se puede separar un factor sec 2x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec 2x = 1 + tan 2x.
O bien, puesto que:
\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x, se puede separar un factor sec xtan x y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Existen 3 casos:

Cuando n es par

n = 2k separar un factor de sec 2x y utilice sec 2x = 1 + tan 2x para lograr expresar los factores restantes en términos de tan x:
\int \sec^{2k}x\;\tan^{m}xdx
\int \sec^{2k-2}x\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx
\int (\sec^{2}x)^{k-1}\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx
\int [1 + \tan^{2}x]^{k-1}\;tan^{m}x\;sec^{2}xdx
de esta manera podemos hacer u = tan x y du = sec2xdx y el integral quedaría así:
\int [1 + u^{2}]^{k -1}\;u^mdu

Cuando m es impar

m = 2k + 1 apartar un factor de sec xtan x y emplear tan 2x = sec 2x − 1 para poder expresar los factores que restan en términos de sec x:
\int \sec^{n}x\;\tan^{2k+1}x\ dx
\int \sec^{n-1}x\;\tan^{2k}x\;\sec x\;\tan x\ dx
\int \sec^{n-1}x\;(\sec^{2}x - 1)^{k}\;\sec x\;\tan x\ dx
de esta manera se puede hacer u = sec x y du= \sec x\;\tan x\;dx, con lo que queda
\int u^{n-1}\;(u^2-1)^{k}du

La tangente tiene potencia par \int tan^{2k}xdx

\int tan^{2k-2}x\;tan^{2}xdx
\int tan^{2k-2}x\;(sec^{2}x - 1)dx
\int tan^{2k-2}x\;sec^{2}xdx - \int tan^{2k-2}xdx

La Secante tiene potencia impar\int sec^{2k+1}xdx

En este caso se procede a integrar por partes.

Ninguno de los anteriores

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a senx y cosx, recordando que:
\sec x = \frac{1}{\cos x}
\tan x= \frac{\sin x}{\cos x}
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.
  • A veces será necesario poder integrar tan x por medio de la fórmula establecida:
\int \tan x dx = \ln |\sec x| + C
  • Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C
Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por sec x + tan x :
\int \sec x dx = \int \sec x \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}dx = 
\int \frac{\sec^2x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x}dx
Si se sustituye u = sec x + tan x, después du = (sec xtan x + sec 2x)dx, también, la integral se convierte en:
 \int \frac{du}{u} = \ln |u| + C
Así, se tiene:
\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C
NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:
csc 2x = 1 + cot 2x


EJEMPLOS

1                     integral trígonométrica
solución



2                 integral trígonométrica
     integral de tangente










3                 integral de coseno
integral de coseno




4                             integral del seno
integral del seno





5                              integral del seno
integral del seno





6                                 integral de coseno cubo de X
integral de coseno cubo de X.
integral de coseno al cubo de X
integral de coseno al cubo X.




7                              integral de sen^4 x
solución
solución
solución
solución
solución




8                           de seno a la quinta y con seno al cuadrado
solución
solución
solución
solución
solución




9                          integral
integral
solución






10                              integral
integral
11integral
integral
integral
integral




12                              integral
integral





13                                integral
operaciones
solución






14                                   integral
integral
solución





15                               integral
operaciones
solución











Integración directa


En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas.

EJEMPLOS
Ejemplo
Calcular la integral indefinida \int \sec^2(x) \, dx.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec 2(x). Por tanto: \int \sec^2(x)\,dx = \tan(x)+ C.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida \int\frac{1}{x}\, dx.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que  \frac{d\, \ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}. De este modo, la solución del problema es \int \frac{1}{x}\, dx =  \ln(x)+ C.
No obstante, puesto que la función  \frac{1}{x} esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)
Integrales indefinidas

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función
u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).
Por consiguiente,
Integrales indefinidas













Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".
Eligiendo adecuadamente los valores de \ u y \ dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.
\int_a^b u dv = \left. uv\right|_a^b - \int_a^b vdu.
Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la cual dice así:
"Sentado (\scriptstyle \int) un día vi, un valiente soldado (\int) vestido de uniforme" .
"Un día vi un viejo sin bastón vestido de uniforme".
"un viejo soldado(-integral) vestido de uniforme" .
"Unamuno dice verdades: una verdad menos integra verdaderas dudas universales" .
Eligiendo adecuadamente los valores de \ u y \ dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.
  • Para elegir la función  \ u \ se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:
  1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.
    Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.








  2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.
    Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.








  3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T
    Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

  4. Ejemplo 1.
    Encuentre x cos(x) dx
    Solución.
    Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g'(x) = cos(x), es
    decir el integrando xcos(x) = f(x) g'(x)

    f(x) = x                g '(x) = cos(x)
    f(x) = 1                g(x) = sen(x)


    x cos(x) dx = xsen(x) sen(x) dx = − xsen(x) + cos(x) + c

    Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g':

    f (x) = cos(x) g '(x) = x

    f (x) = -sen(x) g(x) = x2/2

    sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para
    resolverse que la original.
    NOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de los
    libros del mercado, le llamaremos

    u = f(x) y v = g(x) y en consecuencia du = f '(x)dx así como du = g '(x)dx. Con esta
    nueva notación resolveremos los siguientes ejercicios.


    Ejemplo 2.
    Encuentre xex dx
    Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro

    u = x                 v = ex
    du = dx                 dv = ex dx

    obsérvese que con esta notación, en vez de tomar
    g' (x) = ex , tomamos su diferencial

    dv = ekdx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto
    sea
    dv.

    xex dx = xex ex dx = xex ex + c
    En estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de
    u y dv nos lleva en un solo paso
    a resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver.
    Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral
    del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere
    de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún
    otro procedimiento.

    Ejemplo 3. Encuentre x2ex dx

    Solución.
    Utilizaremos el siguiente cuadro


    u = x2               v = ex


    du = 2xdx             dv = ex dx

    x2ex dx = x2ex 2xex dx

    la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:
    x2ex dx = x2ex 2(xex ex ) + c

    Observación
    : La elección u = ex, dv = x2dx nos lleva a una integral con un mayor grado de

    dificultad.



     





Integrales por situacion trigonometrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma
 \sqrt {a^2 - u^2} ,  \sqrt{a^2 + u^2} y  \sqrt{u^2 - a^2}
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.
En el caso general la integral a resolver es:
\int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx
Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=
=\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
  1. a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
  2. a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}<0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}
  3. a < 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{n^2-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2}
teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
u=m \left ( x+\frac{b}{2a} \right)
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
  1. \sqrt{u^2+n^2};\quad  u=n\cdot \tan t
  2. \sqrt{u^2-n^2};\quad  u=n\cdot \sec t
  3. \sqrt{n^2-u^2};\quad  u=n\cdot \sin t





Ejemplo

integral
cambio de variable
cambia variable
integral
integral
cambie variable
solución


Ejemplos

integral
cambie variable
camero variable
integral
integral
cambie variable
operaciones
cambie variable
operaciones
operaciones
solución
integral
cambie variable
operaciones
solución
integral
cambio de variable
operaciones
solución
integral
cambio de variable
cambio de variable
integral
sangre variable
integral
integral
cambie variable
integral
integral
cambio de haber cambio de variable
solución
solución
integra
cambio variable
cambio de variables
sustitución
operaciones
operaciones
operaciones
cambie variable
solución





Fracción parcial

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Características
Para mayor claridad, sea:
\frac{A(x)}{B(x)}= \frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}
en donde: m<n \,. Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función B(x) \, de la forma:
B(x)= (x+a_n)(x+a_{n-1})...(x+a_1)(x+a_0) \,
o
B(x)= (a_nx^2+b_nx+c_n)(a_{n-1}x^2+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_0x^2+b_0x+c_0) \,
es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.
\frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_2)} + ... + \frac{A_n}{(x+a_n)}
Donde (A_1, A_2, ..., A_n) \, son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidos

Donde los pares de factores son idénticos.
\frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_1)^2} + ... + \frac{A_n}{(x+a_1)^n}
Donde (A_1, A_2, ..., A_n) \, son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.
\frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_2 x^2+b_2 x+c_2)} + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_n x^2+b_n x+c_n)}
Donde (A_1x+B_1, A_2x+B_2, ..., A_nx+B_n) \, son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos

\frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_2 x^2+b_2 x+c_2)^2}  + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_n x^2+b_n x+c_n)^n}
Donde (A_1x+B_1, A_2x+B_2, ..., A_nx+B_n) \, son constantes a determinar, y ningún denominador se anula..
Observación: Es posible construir ejemplos que combinan los cuatro casos anteriores.

Cómputo de las constantes

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:
A_k = \left[\frac{A(x)}{B(x)}(x+a_k)\right]_{x=-a_k}
en donde k = (1, 2, ..., n) \,
Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las A_k \,, la resolución del sistema proporciona los valores de los A_k \,.

EJEMPLOS

Integración por fracciones parciales ejemplo 1


Esto es lo que usted escribira:

1 / (x^2 - 1)

∫ 1/(x^2 - 1) d  x
<br />          Factorizando el denominador en términos lineales . <br />
= ∫ 1/((x - 1) (x + 1)) d  x
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />
= ∫ (1/(2 (x - 1)) - 1/(2 (x + 1))) d  x
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />
= 1/2 ∫ 1/(x - 1) d  x - 1/2 ∫ 1/(x + 1) d  x
<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya s = x + 1, <br />          d  s = 1 d  x . <br />
= 1/2 ∫ 1/(x - 1) d  x - 1/2 ∫ 1/s d  s
<br />          Para el integrante 1/(x - 1), <br />          sustituya t = x - 1, <br />          d  t = 1 d  x . <br />
= 1/2 ∫ 1/t d  t - 1/2 ∫ 1/s d  s
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />
= log(t)/2 - 1/2 ∫ 1/s d  s
<br />          La integral de 1/s es log(s) . <br />
= log(t)/2 - log(s)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo t = x - 1 . <br />
= 1/2 log(x - 1) - log(s)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x + 1 . <br />
= 1/2 log(x - 1) - 1/2 log(x + 1) + ÷r






Integración por fracciones parciales ejemplo 2


Esto es lo que usted escribira:

x^2 / (x^2 - 1)


∫ x^2/(x^2 - 1) d  x
<br />          Haciendo divisió larga . <br />
= ∫ (1 + 1/((x - 1) (x + 1))) d  x
<br />          Integrando la suma térmimo-por-término . <br />
= ∫ 1 d  x + ∫ 1/((x - 1) (x + 1)) d  x
<br />          Separando la fraccion 1/((x - 1) (x + 1)) en fracciones parciales . <br />
= ∫ 1 d  x + ∫ (1/(2 (x - 1)) - 1/(2 (x + 1))) d  x
<br />          Integrando 1/(2 (x - 1)) - 1/(2 (x + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />
= ∫ 1 d  x + 1/2 ∫ 1/(x - 1) d  x - 1/2 ∫ 1/(x + 1) d  x
<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya s = x + 1, <br />          d  s = 1 d  x . <br />
= ∫ 1 d  x - 1/2 ∫ 1/s d  s + 1/2 ∫ 1/(x - 1) d  x
<br />          Para el integrante 1/(x - 1), <br />          sustituya t = x - 1, <br />          d  t = 1 d  x . <br />
= ∫ 1 d  x - 1/2 ∫ 1/s d  s + 1/2 ∫ 1/t d  t
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />
= ∫ 1 d  x - 1/2 ∫ 1/s d  s + log(t)/2
<br />          La integral de 1/s es log(s) . <br />
= ∫ 1 d  x - log(s)/2 + log(t)/2
<br />          La integral de 1 es x . <br />
= x - log(s)/2 + log(t)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo t = x - 1 . <br />
= x - log(s)/2 + 1/2 log(x - 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x + 1 . <br />
= x + 1/2 log(x - 1) - 1/2 log(x + 1) + ÷r


Integración por fracciones parciales ejemplo 3


Esto es lo que usted escribira:

x^3 / (x^2 - 1)


∫ x^3/(x^2 - 1) d  x
<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d  s = 2 x d  x . <br />
= ∫ s/(2 (s - 1)) d  s
<br />          Factorizando constantes . <br />
= 1/2 ∫ s/(s - 1) d  s
<br />          Sustitución <br />          t = s - 1, <br />          d  t = 1 d  s . <br />
= 1/2 ∫ (1 + 1/t) d  t
<br />          Integrando la suma térmimo-por-término . <br />
= 1/2 ∫ 1 d  t + 1/2 ∫ 1/t d  t
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />
= 1/2 ∫ 1 d  t + log(t)/2
<br />          La integral de 1 es t . <br />
= t/2 + log(t)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s - 1 . <br />
= (s - 1)/2 + 1/2 log(s - 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x^2 . <br />
= 1/2 (x^2 - 1) + 1/2 log(x^2 - 1) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />
= 1/2 (x^2 + log(x^2 - 1) - 1) + ÷r

Integración por fracciones parciales ejemplo 4


Esto es lo que usted escribira:

1 / (x^2 + 1)


∫ 1/(x^2 + 1) d  x
<br />          La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . <br />
= tan^(-1)(x) + ÷r


Integración por fracciones parciales ejemplo 5


Esto es lo que usted escribira:

x^2 / (x^2 + 1)


∫ x^2/(x^2 + 1) d  x<br />          Haciendo divisió larga . <br />         = ∫ (1 - 1/(x^2 + 1)) d  x<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         = ∫ 1 d  x - ∫ 1/(x^2 + 1) d  x<br />          La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . <br />         = ∫ 1 d  x - tan^(-1)(x)<br />          La integral de 1 es x . <br />         = x - tan^(-1)(x) + ÷r

Integración por fracciones parciales ejemplo 5


Esto es lo que usted escribira:

x^2 / (x^2 + 1)


∫ x^2/(x^2 + 1) d  x<br />          Haciendo divisió larga . <br />         = ∫ (1 - 1/(x^2 + 1)) d  x<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         = ∫ 1 d  x - ∫ 1/(x^2 + 1) d  x<br />          La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . <br />         = ∫ 1 d  x - tan^(-1)(x)<br />          La integral de 1 es x . <br />         = x - tan^(-1)(x) + ÷r















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